Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．

（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．

Answer 1

【答案】（1）AB是⊙O切线；（2）．

【解析】

试题分析：（1）结论：AB是⊙O切线，连接DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要证明∠ADF=∠DCF即可解决问题．

（2）只要证明△PCF∽△PAC，得，设PF=a．则PC=2a，列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）AB是⊙O切线．

理由：连接DE、CF．

∵CD是直径，∴∠DEC=∠DFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DEC+∠ACE=180°，∴DE∥AC，∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，∵∠DFC=90°，∴∠FCD+∠CDF=90°，∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，∴∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∴AB是⊙O切线．

（2）∵∠CPF=∠CPA，PCF=∠PAC，∴△PCF∽△PAC，∴，∴=PFPA，设PF=a．则PC=2a，∴=a（a+5），∴a=，∴PC=2a=．