Question

如图1，已知直线y=

1

2

x与双曲线y=

k

x

(k＞0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）如图2，过原点O的另一条直线l交双曲线y=

k

x

(k＞0)于C、D两点（点C在第一象限且在点A的左边），当四边形ACBD的面积为24时，求点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据正比例函数先求出点A的坐标，从而求出了k值为8；
（2）根据k的几何意义可知S_△COE=S_△AOF，所以S_梯形CEFA=S_△COA=6．

解答：解：（1）在y=

1

2

x中，当x=4时，y=2，
∴点A的坐标是（4，2）．（2分）
∵点A（4，2）在双曲线y=

k

x

(k＞0)上，
∴k=4×2=8．

（2）∵反比例函数的图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OA=OB，OC=OD．
∴四边形ACBD是平行四边形．
∴S△COA=

1

4

S平行四边形ACBD=

1

4

×24=6．
设点C的横坐标为m（0＜m＜4），则C（m，

8

m

）．
过点C、A分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F．
则S△COE=S△AOF=

1

2

×8=4．
∵S_△COE+S_梯形CEFA=S_△COA+S_△AOF，
∴S_梯形CEFA=S_△COA=6．
∴

1

2

(2+

8

m

)•(4-m)=6，解得m₁=2，m₂=-8（不合，舍去），
∴点C的坐标为（2，4）．

点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数 y=

k

x

中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．