Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC=5，AD=2，
（1）求CD的长；
（2）若∠ABC的平分线交CD于点E，连接AE，求∠AEB的正切值．

Answer 1

（1）过点A作AF⊥BC垂足为F，
由题意得FC=AD=2，AF=CD，（1分）
∵BC=5，∴BF=3，（1分）
在Rt△AFB中解得AF=4，∴CD=4．（1分）

（2）设EC=x，由AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，
得△ABE≌△CBE，
AE=EC=x，∠AEB=∠CEB．（2分）
DE=4-x，在Rt△ADE中，AE²=AD²+DE²x²=（4-x）²+2²，得x=．（1分）
tan∠AEB=tan∠CEB==2．（2分）
分析：（1）过点A作AF⊥BC垂足为F，求得BF的长后在Rt△AFB中解得AF的长后即可得到答案；
（2）证得△ABE≌△CBE后，在Rt△ADE中利用勾股定理求得DE的长后利用锐角三角函数的定义可以求∠ABE的正切值．
点评：本题考查了梯形的性质、勾股定理及锐角三角函数的知识，解题的关键是利用梯形的性质得到进一步解题的条件．