题目内容
如图，在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E．求证：（1）△ADE∽△ABC．
（2）BC=2DE．
分析：（1）由BD⊥AC，CE⊥AB得到∠AEC=∠ADB=90°，利用∠EAC=∠DAB可判断△AEC∽△ADB，则
=
，利用比例性质得
=
，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的判定方法即可得到结论；
（2）根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC=2AE，然后根据△ADE∽△ABC，运用相似比克得到BC=2DE．
| AE |
| AD |
| AC |
| AB |
| AE |
| AC |
| AD |
| AB |
（2）根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC=2AE，然后根据△ADE∽△ABC，运用相似比克得到BC=2DE．
解答：证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
而∠EAC=∠DAB，
∴△AEC∽△ADB，
∴
=
，
∴
=
，
而∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC；
（2）在Rt△AEC中，∠A=60°，
∴∠ACE=30°，
∴AC=2AE，
∵△ADE∽△ABC，
∴
=
，即
=
∴BC=2DE．
∴∠AEC=∠ADB=90°，
而∠EAC=∠DAB，
∴△AEC∽△ADB，
∴
| AE |
| AD |
| AC |
| AB |
∴
| AE |
| AC |
| AD |
| AB |
而∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC；
（2）在Rt△AEC中，∠A=60°，
∴∠ACE=30°，
∴AC=2AE，
∵△ADE∽△ABC，
∴
| AE |
| AC |
| DE |
| BC |
| AE |
| 2AE |
| DE |
| BC |
∴BC=2DE．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
练习册系列答案
智趣寒假作业云南科技出版社系列答案
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