Question

4．如图，射线OA∥射线CB，∠C=∠OAB=100°．点D、E在线段CB上，且∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC．
（1）试说明AB∥OC的理由；
（2）试求∠BOE的度数；
（3）平移线段AB；
①试问∠OBC：∠ODC的值是否会发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化规律．
②若在平移过程中存在某种情况使得∠OEC=∠OBA，试求此时∠OEC的度数．

Answer 1

分析 （1）根据OA∥CB，得到∠OAB+∠ABC=180°，根据已知证明∠C+∠ABC=180°，证明结论；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOC，计算即可得解；
（3）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB=∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ODC=2∠OBC，从而得解；根据三角形的内角和定理求出∠COE=∠AOB，从而得到OB、OE、OD是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

解答 解：（1）∵OA∥CB，
∴∠OAB+∠ABC=180°，
∵∠C=∠OAB=100°，
∴∠C+∠ABC=180°，
∴AB∥OC
（2）∵CB∥OA，
∴∠AOC=180°-∠C=180°-100°=80°，
∵OE平分∠COD，
∴∠COE=∠EOD，
∵∠DOB=∠AOB，
∴∠EOB=∠EOD+∠DOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×80°=40°；
（3）①∵CB∥OA，
∴∠AOB=∠OBC，
∵∠DOB=∠AOB，
∴∠DOB=∠OBC，
∴∠ODC=∠DOB+∠OBC=2∠OBC，
∴∠OBC：∠ODC=1：2，是定值；
②在△COE和△AOB中，
∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，
∴∠COE=∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE=$\frac{1}{4}$∠AOC=$\frac{1}{4}$×80°=20°，
∴∠OEC=180°-∠C-∠COE=180°-100°-20°=60°，
∴∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=60°

点评 本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，此题是一道中档题目，难度适中．