Question

观察：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，…
（1）猜想：请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含x（x表示整数）的等式表示出来

 

．
（2）验证：
（3）运用：请利用上述规律，解方程

1

(x-4)(x-3)

+

1

(x-3)(x-2)

+

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

解：原方程可变形如下：
（4）拓展：计算

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2009×2011

．

Answer 1

分析：（1）根据题意观察，即可得到规律：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

（x表示整数）；
（2）利用分式的加减运算，即可验证猜想的准确性；
（3）利用规律，将原方程化为：

1

x-4

-

1

x+1

=

1

x+1

，解此分式方程即可求得答案；
（4）利用规律化简原式即求得答案．

解答：解：观察：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，
（1）猜想：请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含x（x表示整数）的等式表示出来

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

（x表示整数）；

（2）验证：右边=

1

x

-

1

x+1

=

x+1

x(x+1)

-

x

x(x+1)

=

x+1-x

x(x+1)

=

1

x(x+1)

=左，
∴猜想正确；

（3）解：原方程可变形如下：

1

x-4

-

1

x-3

+

1

x-3

-

1

x-2

+

1

x-2

-

1

x-1

+

1

x-1

-

1

x

+

1

x

-

1

x+1

=

1

x+1

，
∴

1

x-4

-

1

x+1

=

1

x+1

，
解得x=9
经检验：方程的根是x=9；
∴原方程的根为：x=9；

（4）原式=

1

2

(

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2009

-

1

2011

)=

1

2

(1-

1

2011

)=

1005

2011

．

点评：此题考查了分式方程与分式的运算等知识．注意找到规律：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

是解此题的关键．