Question

【题目】如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.

(1)探究线段EF与OC的数量关系并说明理由．

(2)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．

(3)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE________是菱形或正方形(填“可能”或“不可能”)．请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当点运动到的中点，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形；（3）不可能.

【解析】

（1）由直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，易证得与是等腰三角形，则可证得；

（2）正方形的判定问题，四边形若是正方形，则必有对角线，所以为的中点，四边形是矩形．在中，当时，则得对角线互相垂直，可满足其为正方形；

（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直．

解：（1）．理由如下：

是的角平分线，

，

又，

，

，

，

同理可得：，

；

∴.

（2）当点运动到的中点，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形．理由如下：

当点运动到的中点时，，

又，

四边形是平行四边形，

，

，

，即，

四边形是矩形．

已知，当，则

，

，

四边形是正方形；

（3）不可能．理由如下：如图，

平分，平分，

，

若四边形是菱形，则，

但在中，不可能存在两个角为，所以不存在其为菱形．

故答案为：不可能．