Question

如图1，矩形ABCD的顶点A（6，0），B（0，8），AB=2BC，直线y=﹣x+m（m≥13）交坐标轴于M，N两点，将矩形ABCD沿直线y=﹣x+m（m≥13）翻折后得到矩形A′B′C′D′．

（1）求点C的坐标和tan∠OMN的值；

（2）如图2，直线y=﹣x+m过点C，求证：四边形BMB′C是菱形；

（3）如图1，在直线y=﹣x+m（m≥13）平移的过程中．

①求证：B′C′∥y轴；

②若矩形A′B′C′D′的边与直线y=﹣x+43有交点，求m的取值范围．

　

Answer 1

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）首先利用勾股定理求得AB的长，然后证明△AOB∽△BEC，根据相似三角形的对应边的比相等求得BE的长，则OE长即可求得，从而求得C的坐标；

（2）利用待定系数法求得m的值，求得BM的长，根据四边相等的四边形是菱形即可证得；

（3）①连接BB′，根据（2）可得∠M₁BB′=∠MBC，然后根据对称性证明∠M₁BB′=∠C′B′B，据此即可证得；

②过B′作B′F⊥y轴于点F，设B′F=a，则BF=2a，设BM=B′M=b，则MF=2a﹣b，在直角△B′FM中利用勾股定理求得a和b的比值，MF和B′F即可利用m表示出来，B′和C′坐标即可求得，代入直线y=﹣x+43求得m的值，从而确定m的范围．

【解答】解：（1）∵A（6，0），B（0，8）．

∴OA=6，OB=8，

∴AB==10，

∴BC=AB=5．

如图1，过C作CE⊥y轴于点E，

∴∠BOA=∠CEB=90°，

又∵∠BAO+∠ABO=∠EBC+∠ABO=90°，

∴∠BAO=∠BEC，

∴△AOB∽△BEC，

∴===2，

∴BE=3，CE=4．

∴OE=BE﹣OB=11，

∴点C的坐标是（4，11）．

当x=0时，OM=m，当y=0时，ON=2m，

∴tan∠OMN=2；

（2）如图2，由题意得：BM=BM′，BC=B′C．

∵直线y=﹣x+m过点C（4，11）．

∴11=﹣2+m，

解得：m=13，

∴BM=13﹣8=5，

∴BM′=BM=BC=BC′=5，

∴四边形BMB′C是菱形；

（3）①如图3，连接BB′，由（2）已证∠M₁BB′=∠MBC，

∵CM₁∥MN，BB′⊥M₁C，

∴∠MBB′=∠MBC，

由对称可得：∠C′B′B=∠CBB′，

∴∠M₁BB′=∠C′B′B，

∴B′C′∥y轴．

②如图3，过B′作B′F⊥y轴于点F．

∵BB′⊥MN，

∴tan∠MBB′=，

∴BF=2B′F，

设B′F=a，则BF=2a，设BM=B′M=b，则MF=2a﹣b，

在直角△B′FM中，a²+（2a﹣b）²=b²，

解得：a：b=4：5．

∴MF：B′F：B′M=3：4：5．

∵B′M=BM=m﹣8，

∴MF=（m﹣8），B′F=（m﹣8）．

∴A′坐标是（，），C′（，），

当点A′在直线y=﹣x++43上时，m=，

当点C′在直线y=﹣x+43上时，m=．

∴则b的取值范围是≤m≤．