题目内容
【题目】已知x≠1,(1+x)(1-x)=1-
,(1-x)(1+x+
)=1-
,(1-x)(1+x+
+
)=1-
.
（1）根据以上式子计算：
①（1-2）×（1+2+
+
+
+
）：②2+
+
+…+
（n为正整数）：
③（x-1)( 
+
+
+…+
+x+1).
（2）通过以上计算，请你进行下面的探索：
①（a-b)(a+b)=______________:②(a-b) (
+ab+
)=_________________:
③(a-b)( 
+
b+
+
)=_____________.
【答案】（1）①原式＝－63；②原式＝2n＋1－2；③原式＝x100－1；（2）①a2－b2；②a3－b3；③a4－b4
【解析】试题分析: （1）利用猜想的结论得到①（1-2）（1+2+22+23+24+25）=-63；
②先变形2+22+23+24+…+2n=2（1+2+22+23+24+…+2n-1）=-2（1-2）（1+2+22+23+24+…+2n-1），然后利用上述结论写出结果；
③先变形得到（x-1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=-（1-x）（1+x+x2+…+x99），然后利用上述结论写出结果；
（2）（3）根据规律易得①（a-b）（a+b）=a2-b2；②（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；③（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4．
试题解析:
(1) ①（1-2）×（1+2+2
+2
+2
+2
）
=1-26
=1-26
=1-64
=-63
②2+22+23+24+…+2n
=2（1+2+22+23+24+…+2n-1）
=-2（1-2）（1+2+22+23+24+…+2n-1）2(12n)
=2n＋1－2
③（x-1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）
=-（1-x）（1+x+x2+…+x99）
=(1
)
=
1
（2）
①(ab)(a+b)=ab；
②(ab)(a+ab+b)=ab；
③(ab)(a+ab+ab+b)=a4-b4.
点睛: 本题考查了整式的混合运算：先进行乘方运算，然后进行乘除运算，再进行加减运算；有括号先算括号．也考查了实数的运算．
