Question

如图，正方形ABCD的边长为2，以对角线BD为边作菱形BEFD，点C、E、F在同一直线上．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求CE的长．

Answer 1

解：（1）连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥BD于点H，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD=AC=2，AC⊥BD，
∴OC=AC=，
∵四边形BEFD是菱形，
∴BE=BD=2，BD∥EF，
∵点C、E、F在同一直线上，
∴EH=OC=，
在Rt△BEH中，sin∠EBH===，
∴∠EBH=30°，
∴∠EBC=∠DBC-∠EBH=45°-30°=15°；

（2）过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∵BD∥EF，
∴∠ECG=∠DBC=45°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∴EG=CG，
设EG=x，
则BG=BC+CG=2+x，
在Rt△BEG中，BE²=BG²+EG²，
即（2）²=（2+x）²+x²，
即2x²+4x-4=0，
解得：x=-1或x=--1（舍去），
∴EG=-1，
∴CE=EG=（-1）=-．
分析：（1）首先连接AC交BD于点O，过点E作EH⊥BD于点H，由正方形ABCD的边长为2，四边形BEFD是菱形，易求得BE=BD=2，由BD∥EF，可求得EH=OC=，然后由三角函数的性质，求得∠EBC的度数；
（2）首先过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G，即可得△ECG是等腰直角三角形，然后设EG=CG=x，在Rt△BEG中，由BE²=BG²+EG²，可得方程：（2）²=（2+x）²+x²，解此方程即可求得EG的长，继而求得CE的长．
点评：此题考查了正方形的性质、菱形的性质、特殊角的三角函数值以及勾股定理的知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合与方程思想的应用．