Question

【题目】在平面直角坐标系中，点A（1，0），已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．

（1）当抛物线经过点A时．

①求顶点P的坐标；

②设直线l：y=3x+1与抛物线交于B、C两点，抛物线上的点M的横坐标为n（﹣1≤n≤3），过点M作x轴的垂线，与直线l交于点Q，若MQ=d，当d随n的增大而减少时，求n的取值范围．

（2）无论m取何值，该抛物线都经过定点H，当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）①点P（﹣，﹣）；②1≤n≤3；（2）抛物线的表达式为：y=x2﹣4x+8或或y=x2+4x﹣8或．

【解析】

（1）①将点A的坐标代入抛物线表达式可得m值，再根据抛物线表达式确定顶点P的坐标即可；

②画出函数图象，联立抛物线与直线表达式可得点B、C坐标，易知点M的横坐标为n（﹣1≤n≤3）时，图象对应的是BC之间的部分，设点M（n，n2+n﹣2），点Q（n，3n+1），可得d与n的关系式，可知其对称轴为n=1，根据d的增减性可确定n的取值范围；

（2）点P的坐标为：（﹣m，﹣m2﹣2m），由点A、H的坐标知，AH=，tanα=4；点P存在在AH左右两侧的情况，①当点P在AH右侧时，过点M作MR⊥AH于点R，设RM=4x=RH，则AR=x，根据AH=AR+RH可得x值，易知点M坐标，由点H、M坐标可得直线HM表达式，将点P坐标代入即可求出m值；②当点P在AH左侧时，同理求出点M坐标及直线HM的表达式，将点P坐标代入即可求出m值.

解：（1）①将点A（1，0）代入y=x2+mx﹣2m得，

解得

所以抛物线的表达式为y=x2+x﹣2，

点P（﹣，﹣）；

②函数图象如图1所示，

联立抛物线与直线表达式

得：

解得x=﹣1或3，

当x=﹣1时，，

当时，

所以点B、C的坐标分别为：（﹣1，﹣2）、（3，10），

故M的横坐标为n（﹣1≤n≤3）时，图象对应的是BC之间的部分，

设点M（n，n2+n﹣2），点Q（n，3n+1），

d=QM=3n+1﹣n2﹣n+2=﹣n2+2n+3，函数的对称轴为：n=1，

当d随n的增大而减少，n≥1，而﹣1≤n≤3，

故1≤n≤3．

（2）点P的坐标为：（﹣m，﹣m2﹣2m），

由点A、H的坐标知，AH=，tanα=4；点P存在在AH左右两侧的情况，如图2所示；

①当点P在AH右侧时，如图，

过点M作MR⊥AH于点R，∠AHP=45°，tanα=4，

设：RM=4x=RH，则AR=x，

则AH=AR+RH=5x=，解得：x=，

则AM=x=，则点M（，0）；

由H、M的坐标得直线HM的表达式为：y=﹣x+，

将点P的坐标代入上式并整理得：3m2+34m+88=0，解得：m=﹣4或﹣；

②当点P在AH左侧时，如图，

同理可得：点M（5，0），

则直线HM的表达式为：y=x+，

将点P的坐标代入上式并整理得：7m2+48m+80=0，

解得：m=4或；

综上，抛物线的表达式为：y=x2﹣4x+8或y=x2﹣x+或y=x2+4x﹣8或y=x2+x﹣．