如图①.在平面直角坐标系中.点A的坐标为(8.6).连结OA.动点P从点O出发.以每秒5个单位长度的速度沿OA向终点A运动．以P为顶点的抛物线y=(x-h)2+k与y轴交于点B.过点B作BC∥x轴交抛物线于另一点C.动点Q从点A出发.以每秒5个单位长度的速度沿AO向终点O运动.以Q为顶点.作边长为4的正方形QDEF．使得DQ∥x轴.且点D在点Q左侧.点F在点Q的下方．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（8，6），连结OA，动点P从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿OA向终点A运动．以P为顶点的抛物线y=（x-h）²+k与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴交抛物线于另一点C，动点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AO向终点O运动，以Q为顶点，作边长为4的正方形QDEF．使得DQ∥x轴，且点D在点Q左侧，点F在点Q的下方．点P、Q同时出发，设运动时间为t．
（1）用含有t的代数式表示点P的坐标（4t，3t）
（2）当四边形BCFE为平行四边形时，求t的值．
（3）当点C落在线段DE或QF上时，求t的值．
（4）如图②，以OB、BC为邻边作矩形OBCG，当点Q在矩形OBCG内部时，设矩形OBCG与正方形QDEF重叠部分图形的周长为l，求l与t之间的函数关系式．

分析（1）由点A的坐标为（8，6），根据相似三角形的性质，即可求得点P的坐标；
（2）由P（4t，3t），可得抛物线的解析式为：y=（x-4t）²+3t，易得当BC=EF时，四边形BCFE为平行四边形，继而求得答案；
（3）首先求得点C的坐标，继而可得点Q的坐标为：（8-4t，6-3t），点E的坐标为（4-4t，2-3t），然后分别令8t=4-4t与8t=8-4t，去分析求解即可求得答案；
（4）分别从当点Q在CG上时，当点Q在y轴上时，当$\frac{2}{3}$＜t＜1时，当1≤t＜2时，去分析求解即可求得答案．

解答解：（1）∵点A的坐标为（8，6），
∴OA=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵OP=5t，
∴$\frac{x}{8}=\frac{5t}{10}$=$\frac{y}{6}$，
∴x=4t，y=3t，
∴点P的坐标为：（4t，3t）；
故答案为：4t，3t；

（2）∵P（4t，3t），
∴抛物线的解析式为：y=（x-4t）²+3t，
由对称性可得：BC=8t，
∵BC∥x轴，EF∥x轴，
∴BC∥EF，
∴当BC=EF时，四边形BCFE为平行四边形，
∴8t=4，
解得：t=$\frac{1}{2}$；

（3）当x=8t时，y=（8t-4t）²+3t=16t²+3t，
∴点C的坐标为（8t，16t²+3t），
根据题意得：点Q的坐标为：（8-4t，6-3t），点E的坐标为（4-4t，2-3t），
令8t=4-4t，解得：t=$\frac{1}{3}$，
此时：8t=8×$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{3}$，6-3t=6-3×$\frac{1}{3}$=5，2-3t=2-3×$\frac{1}{3}$=1，
∵1＜$\frac{8}{3}$＜5，
∴当t=$\frac{1}{3}$时，点C落在DE上，
令8t=8-4t，解得：t=$\frac{2}{3}$，
此时：8t=8×$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{3}$，6-3t=6-3×$\frac{2}{3}$=4，2-3t=2-3×$\frac{2}{3}$=0，
∵0＜4＜$\frac{16}{3}$，
∴当t=$\frac{2}{3}$时，点C不落在DE上；
综上可得：点C落在线段DE或QF上时，t=$\frac{1}{3}$．

（4）如图①，当点Q在CG上时，8t=8-4t，解得：t=$\frac{2}{3}$；
如图②，当点E在y轴上时，4-4t=0，解得：t=1；
如图③，当$\frac{2}{3}$＜t＜1时，QM=6-3t，DQ=4，
则y=2QM+2DQ=2（6-3t+4）=20-6t；
如图④，当1≤t＜2时，QN=8-4t，QM=6-3t，
y=2QN+2QM=2（8-4t+6-3t）=28-14t．