Question

已知：在直角坐标系中，E为第二象限内一点，⊙E与x轴自左至右交于A、B两点，直线PC切⊙E于C，交x轴于P，D为线段PC上一点，ED⊥BC，已知PB=2，△PBD的周长为。

（1）求证：DB是⊙E的切线；

（2）若抛物线经过A、B两点，求m的值；

（3）在过P点的直线中，是否存在这样的直线，该直线与（2）中的抛物线的两个交点的横坐标之和等于2？若存在，求出这样的直线的解析式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）证：连结EC、EB，

∵PC切⊙E于C，   ∴∠ECP=90°，

∵EC=EB，EH=EH   ∵ED⊥BC于H，

∴△CEH≌△BEH，  ∴∠CEH=∠BEH，

∴△CED≌△BED，  ∴∠ECD=∠EBD=90°，

∴BD是⊙E的切线， ∴BD=DC。

（2）∵△PBD的周长为，PB=2，

∴    ∴，

∵PC切⊙E于C，PBA为⊙E的割线，

∴PC²=PB?PA    ∴12=2?PA   ∴PA=6，   ∴AB=4

∵抛物线与x轴交于A（x₁,0），B（x₂,0），x₁＜0，x₂＞0，

∴x₁+x₂=－2，x₁x₂=－4m＜0m＞0,

∵AB=4，

∴

     

∴4=1+4m         ∴     ∴。

（3）令y=0

∴x₁=－3,  x₂=1

∴A(－3,0),B(1,0)

∵PB=2,   ∴P(3,0)

设过P（3，0）的直线为y=kx－3k。

∴

∴x²+2(1－k)x－3+6k=0

设抛物线与直线的交点的横坐标为x₃,x₄，

∴x₃+x₄=2(k－1)

x₃－x₄=6k－3

依题意：x₃+x₄=2

∴2(k－1)=2    ∴k=2,

当k=2时，Δ=4(1－k)²－4(6k－3)

=4－4×9＜0

∴不存在这样的直线。