题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴交于点
和
，与
轴交于点
.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点
是抛物线上第二象限内的点，连接
，设
的面积为
，当取最大值时，求点的坐标；
（3）作射线
，将射线绕
点顺时针旋转
交抛物线于另一点
，在射线
上是否存在一点
，使
的周长最小.若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点
坐标为
【解析】
（1）用待定系数法即可求抛物线的表达式；
（2）过点
作
轴，交线段
于点
，交
轴于点
，设
将点D的坐标用含x的代数式表示出来，然后利用
即可求出面积最大时的x的值，从而确定点P的坐标；
（3）延长
到
，使
，连接
，与
交点即为满足条件的点.分别求出AD,的直线解析式，然后建立方程组即可求出交点H的坐标.
解：（1）将
、
和
代入
得，
解得：
∴抛物线的表达式为.
（2）如图，过点作轴，交线段于点，交轴于点.
设
∵
∴
，
∴直线解析式为
∴
∴
由图可得
∵
∴
当
时
最大
将
代入得
∴
.
（3）在射线上存在一点，使
的周长最小.
如图，延长到，使，连接，与交点即为满足条件的点.
∵射线绕点
顺时针旋转
得射线
∴
∴
∴直线解析式为
∵
∴
，垂直平分
∴
∴当
在同一直线上时，
最小.
设直线解析式为
，
将
代入
得
解得
∴直线
∵
解得：
∴点坐标为
.
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