Question

如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形。
（1）当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形；
（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件。

Answer 1

解：（1）∵△ABE、△BCF为等边三角形， ∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°， ∴∠FBE=∠CBA， ∴△FBE≌△CBA， ∴EF=AC， 又∵△ADC为等边三角形， ∴CD=AD=AC， ∴EF=AD 同理可得AE=DF ∴四边形AEFD是平行四边； （2）构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段， 当图形为菱形时，∠BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）， 当图形为线段时，∠BAC=60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）。