题目内容
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=4，将△ABC折叠，使点A落在点B上，折痕所在直线交△ABC的外角平分线CD于点E，则点E到BC的距离为考点：翻折变换（折叠问题）
专题：
分析：连接GB，作EF⊥BC于F，EM⊥AC于M，就可以得出EM=EF，由条件就可以得出△GEM∽△CAB，△AGH∽△ABC，就有
=
，
=
，就可以把EM、AG表示出来，由EM于CM的关系就可以求出结论．
| EM |
| MG |
| AB |
| BC |
| AG |
| AB |
| AH |
| AC |
解答：解：连接GB，作EF⊥BC于F，EM⊥AC于M，
∴∠EMC=∠EMG=∠EFC=90°
∵CD平分∠ACF，
∴EM=EF．∠ACD=
∠ACF，
∵∠C=90°，
∴∠ACF=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠CEM=45°，
∴∠CEM=∠ECM，
∴EM=EC．
∵△AGH与△BGH关于GH对称，
∴AH=
AB，AG=GB．∠AHG=∠BHG=90°．
∴∠EMG=∠ACB=∠AHG．
∵∠EGM=∠AGH，
∴△GEM∽△BAC，
∴
=
，
∴EM=
•MG．
∴CM=
•MG=
（AC-AG-CM）．
∵∠A=∠A，∠ACB=∠AHG．
∴
=
．
∴
=
，
∴AG=
．
∴CM═
（AC-
-CM）．
∴CM=
-
-
•CM，
∴2BC．CM=2AC2-AB2-2AC．CM，
∴（2BC+2AC）CM=2AC2-AB2，
∴CM=
．
∵∠C=90°，AC=7，BC=4，
∴由勾股定理，得
AB=
，
∴EM=
=
．
故答案为：
．
∴∠EMC=∠EMG=∠EFC=90°
∵CD平分∠ACF，
∴EM=EF．∠ACD=
| 1 |
| 2 |
∵∠C=90°，
∴∠ACF=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠CEM=45°，
∴∠CEM=∠ECM，
∴EM=EC．
∵△AGH与△BGH关于GH对称，
∴AH=
| 1 |
| 2 |
∴∠EMG=∠ACB=∠AHG．
∵∠EGM=∠AGH，
∴△GEM∽△BAC，
∴
| EM |
| MG |
| AC |
| BC |
∴EM=
| AC |
| BC |
∴CM=
| AC |
| BC |
| AC |
| BC |
∵∠A=∠A，∠ACB=∠AHG．
∴
| AG |
| AB |
| AH |
| AC |
∴
| AG |
| AB |
| ||
| AC |
∴AG=
| AB2 |
| 2AC |
∴CM═
| AC |
| BC |
| AB2 |
| 2AC |
∴CM=
| AC2 |
| BC |
| AB2 |
| 2BC |
| AC |
| BC |
∴2BC．CM=2AC2-AB2-2AC．CM，
∴（2BC+2AC）CM=2AC2-AB2，
∴CM=
| 2AC2-AB2 |
| 2BC+2AC |
∵∠C=90°，AC=7，BC=4，
∴由勾股定理，得
AB=
| 65 |
∴EM=
| 2×49-65 |
| 2×4+2×7 |
| 3 |
| 2 |
故答案为：
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，角平分线的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时由轴对称的性质求解是关键．
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