Question

如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.

（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；

（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.

①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；

②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？（改编）

Answer 1

解：（1）四边形ABCE是菱形。                     

∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，∴EC∥AB，且EC＝AB，

∴四边形ABCE是平行四边形，                   

又∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形 .   

（2）①四边形PQED的面积不发生变化。

方法一：∵ABCE是菱形，∴AC⊥BE，OC=AC=3，∵BC=5，∴BO=4，

过A作AH⊥BD于H，（如图1）.

∵S_△ABC＝BC×AH＝AC×BO，

即：×5×AH＝×6×4，∴AH＝.  

【或 ∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠BCA公用，∴△AHC∽△BOC，∴AH:BO＝AC:BC，

即：AH:4＝6:5，∴AH＝.         

由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴BP＝QE，

∴S_{四边形PQED}＝（QE+PD）×QR＝（BP+PD）×AH＝BD×AH

  ＝×10×＝24.               

方法二: 由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴S_△PBO＝ S_△QEO，

∵△ECD是由△ABC平移得到得，∴ED∥AC，ED＝AC＝6，

又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，                             

∴S_{四边形PQED}＝S_△QEO＋S_{四边形POED}＝S_△PBO＋S_{四边形POED}＝S_△BED

＝×BE×ED＝×8×6＝24.                              

②方法一：如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，

∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，

即∠2＝∠1，∴OP=OC=3                                 

过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC，

∴CG:CO＝CO:BC，即：CG:3＝3:5，∴CG=，         

∴PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝.             

方法二：如图3，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，

∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，

∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，               

∴QR:BO＝PR:OC，即：:4＝PR:3，∴PR＝，     

过E作EF⊥BD于F，设PB＝x，则RF=QE=PB=x，

DF＝==，                    

∴BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10，x＝.    

方法三: 如图4，若点P在BC上运动，使点R与C重合，

由菱形的对称性知，O为PQ的中点，∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线，

∴CO=PO，                                           

∴∠OPC＝∠OCP，此时，Rt△PQR∽Rt△CBO，      

∴PR:CO＝PQ:BC，即PR:3＝6:5，∴PR＝          

∴PB＝BC-PR＝5－＝.