Question

8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E，BF∥AC，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 首先证明AB=AC，根据等腰三角形的性质即可判断②③正确，由△CDE≌△DBF，推出DE=DF，CE=BF，故①正确；由AE=2BF，推出AC=3BF，故④正确；

解答 解：∵BF∥AC，
∴∠C=∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠CBF，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE与△DBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠BDF}\\{CD=BD}\\{∠C=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△DBF，
∴DE=DF，CE=BF，故①正确；
∵AE=2BF，
∴AC=3BF，故④正确；
故选A．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是正确使用等腰三角形的性质三线合一，属于中考常考题型．