Question

【题目】阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，则tan22.5°=　 　

小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD=CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．

（1）请回答：tan22.5°=　 　．

（2）解决问题：

如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，请借助△ABC构造出15°的角，并计算tan15°值．

Answer 1

【答案】（1）（2）2-

【解析】试题分析：（1）设AC＝CD＝x，根据勾股定理求出AD，然后根据等角对等边证明BD＝AD，进而根据正切函数的定义求出即可；

（2）延长BA至D，使AD＝AB，作CH⊥AB于H，设CH＝x，根据直角三角形的性质得到DH＝2x＋x，根据正切的概念计算．

试题解析：

解：（1）在CB边上截取CD＝CA，连接AD，

则∠ADC＝∠DAC＝45°，

设AC＝x，则CD＝x，

由勾股定理得，AD＝＝x，

∵∠ADC＝45°，∠B＝22.5°，

∴∠BAD＝∠B，

∴DA＝DB＝x，

则BC＝（＋1）x，

tan22.5°＝tanB＝＝﹣1，

故答案为：﹣1；

（2）延长BA至D，使AD＝AB，作CH⊥AB于H，

∵AB＝AC，

∴AD＝AC，

∴∠ACD＝∠D＝∠A＝15°，

设CH＝x，

∵∠CAH＝30°，

∴AC＝2CH＝2x，

∴AD＝2x，

由勾股定理得，AH＝＝x，

∴DH＝2x＋x，

则tan15°＝＝2﹣．