题目内容

阅读下列材料：如图，二次函数y=-x2+2（y≥0）的图象与x、y轴分别交于点A、B、C．设点P（x，y）为该图象上的任意一点，连接OP，怎样求OP的长度取值范围呢？
回    顾：∵y=x2-4x+5=x2-4x+4-4+5=（x-2）2+1，∴y的最小值为1；
举一反三：∵y=x4-4x2+5=x4-4x2+4-4+5=（x2-2）2+1，∴y的最小值为1；
请参照上述方法，完成下列问题：
（1）求函数y=x4-8x2+20的最小值；
（2）求函数y=x4+2x2+3的最小值；
（3）探究“阅读材料”中OP长度的取值范围．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）配方，然后利用二次函数的最值问题解答；
（2）先配方，再根据平方数非负数的性质解答；
（3）根据两点间的距离求出OP2，再根据二次函数的最值求出OP2，然后开方求出最小值，再写出OP的取值范围即可．
解答：解：（1）∵y=x4-8x2+20=（x2-4）2+4，
∴x2=4，即x=±2时，y有最小值4；

（2）y=x4+2x2+3=（x2+1）2+2，
∵x2≥0，
∴当x2=0，即x=0时，y有最小值3；

（3）∵OP2=x2+（-x2+2）2，
=x4-3x2+4，
=（x2-
3
2
）2+
7
4
，
∴当x2=
3
2
时，即x=±
6
2
时，OP2有最小值
7
4
，
OP=
7
2
，
所以，OP的取值范围是OP≥
7
2
．
点评：本题考查了二次函数综合题型，主要利用了二次函数的最值问题的求解，读懂题目信息，理解最小值的求解方法是解题的关键．
练习册系列答案
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阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程的系数之间有如下关系：x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a
．根据该材料完成下列填空：已知m，n是方程x2-2013x+2014=0的两根，则：
（1）m+n=
 
，mn=
 
；
（2）（m2-2014m+2015）（n2-2014n+2015）=
 
．
先化简，再求值：（x+2）2-（x+1）（x-1），其中x=-
1
2
．
如果一个两位数的十位数字是a，个位数字是b，交换十位上的数字与个位上的数字后得到一个新的两位数，则新的两位数与原数的和是
 
．
三个小朋友在一起玩“手心手背”游戏．游戏时，每人每次同时随机伸出一只手，手心向上简称“手心”，手背向上简称“手背”．
（1）请你列出三人玩“手心手背”游戏，出手一次出现的所有等可能的情况（用A表示手心，B表示手背）；
（2）他们同时随机出手，都是“手心”的概率是
 
．
计算下列各式
（1）(
1
3
)-2-（-1）2014|
8
-
27
|+3tan60°-
1
2-2
sin45°
（2）
tan45°
sin30°
-
cos45°
sin60°•tan30°
．
计算
（1）-15-（-8）+（-11）-12                
（2）（-
7
2
）×(
1
6
-
1
2
)×
3
14
÷（-
1
2
）
（3）（-2）2+4×（-3）2-（-4）2÷（-2）
（4）-
1
3
ab-
1
2
a2+
1
3
a2-（-
2
3
ab）
已知黄金矩形的宽为
5
-2，则这个黄金矩形的面积是
 
．
图中用40米长的绳子围成矩形ABCD，AB为x米，距形ABCD的面积是s平方米．求s与x的函数解析式以及x的取值范围．

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