Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E（m，2）是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D．

①点F是x轴上一动点，连接EF，当以A、E、F为顶点的三角形与△BOD相似时，求出线段EF的长；

②点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，若∠GCH＝∠EBA，请直接写出点H的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）①EF的长为2或2；②点H的坐标为（﹣，）或（﹣）．

【解析】

（1）用待定系数法求出函数解析式即可；

（2）①得出，当时，当时，可求出的长；

②（Ⅰ）求出直线的解析式为，得出，则，得出，由，设，则，，则，解得，，可求出点的坐标；

（Ⅱ）过点作，过点作于点，过点作于点，证得，由（Ⅰ）知：，则，设，则，证明，则，，又，得出，代入中，得，可求出点坐标．

解：（1）将A（﹣3，0）、B（2，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得，

，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣x+3；

（2）①将E（m，2）代入y＝﹣x+3中，

得﹣m+3＝0，解得m＝﹣2或1（舍去），

∴E（﹣2，2），

∵A（﹣3，0）、B（2，0），

∴AB＝5，AE＝，BE＝2，

∴AB2＝AE2+BE2，

∴∠AEB＝∠DOB＝90°，

∴∠EAB+∠EBA＝∠ODB+∠EBA＝90°，

∴∠EAB＝∠ODB，

（Ⅰ）当△FEA∽△BOD时，

∴∠AEF＝∠DOB＝90°，

∴F与B点重合，

∴EF＝BE＝2，

（Ⅱ）当△EFA∽△BOD时，

∴∠AFE＝∠DOB＝90°，

∵E（﹣2，2），

∴EF＝2，

故：EF的长为2或2；

②点的坐标为，或，，

（Ⅰ）过点H作HN⊥CO于点N，过点G作GM⊥HN于点M，

∴∠GMN＝∠CNH＝90°，

又∠GHC＝90°，

∴∠CHN+∠GHM＝∠MGH+∠GHM＝90°，

∴∠CHN＝∠MGH，

∵HN⊥CO，∠COP＝90°，

∴HN∥AB，

∴∠CHN＝∠APE＝∠MGH，

∵E（﹣2，2），C（0，3），

∴直线CE的解析式为y＝x+3，

∴P（﹣6，0），

∴EP＝EB＝2，

∴∠APE＝∠EBA，

∵∠GCH＝∠EBA，

∴∠GCH＝∠APE＝∠EBA＝∠CHN＝∠MGH，

∴GC∥PB，

又C（0，3），

∴G点的纵坐标为3，代入y＝﹣x+3中，得：x＝﹣1或0（舍去），

∴MN＝1，

∵∠AEB＝90°，AE＝，BE＝2，

∴tan∠EBA＝tan∠CHN＝tan∠MGH＝，

设CN＝MG＝m，则HN＝2m，MH＝m，

∴MH+HN＝2m+m＝1，

解得，m＝，

∴H点的橫坐标为﹣，代入y＝x+3，得：y＝，

∴点H的坐标为（﹣，）．

（Ⅱ）过点H作MN⊥PB，过点C作CN⊥MH于点N，过点G作GM⊥HM于点M，

∴CN∥PB，

∴∠NCH＝∠APE，

由（Ⅰ）知：∠APE＝∠EBA，则∠NCH＝∠EBA，

∵∠GMN＝∠CNH＝90°，

又∠GHC＝90°，

∴∠HCN+∠NHC＝∠MHG+∠NHC＝90°，

∴∠HCN＝∠MHG，

∵∠GCH＝∠EBA，

∴∠GCH＝∠EBA＝∠HCN＝∠MHG，

由（Ⅰ）知：，则，

，

又，

，

，

，

，

由（Ⅰ）知：，

则，

设，则，

，，

，

，

，，又，

，代入中，得，或0（舍去），

，

点的橫坐标为，代入，得，．

点的坐标为．

综合以上可得点的坐标为，或．