题目内容
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，
，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；
（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；
（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB=y，OA=x，求y关于x的函数关系式及定义域．
【答案】分析：（1）过点M作MD⊥AB，垂足为D，根据MB=2，结合sin∠B的值，可得出MD的长，与圆M的半径进行比较即可得出⊙M与直线AB的位置关系；
（2）根据（1）得出MD＞MP，OM＞MP，从而△OMP是等腰三角形可分两种情况讨论，①OP=MP，②OM=OP，分别运用相似三角形的性质求解OA即可；
（3）先表示出NF、BF，从而可得出OF的表达式，由⊙N和⊙O外切，可得出ON=x+y，在Rt△NFO中利用勾股定理，可得出y与x的关系式，也可得出自变量的定义域．
解答：
解：（1）⊙M与直线AB相离，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵
，AC=6，
∴AB=10，
．
过点M作MD⊥AB，垂足为D，
在Rt△MDB中，∠MDB=90°，
，
∵MB=2，
∴
＞1，
故可得⊙M与直线AB相离；
（2）∵
＞1=MP，
∴OM＞MP．
分两种情况讨论，
1°当OP=MP时，此时OP=MP=PB，
故易得∠MOB=90°，
∴
，
∴OB=
，
∴OA=
；
2°当OM=OP时，过点O作OE⊥BC，垂足为E
EB=EP+PB=
+1=
，
此时
，
∴OB=
，
∴OA=
．
综上可得，当△OMP是等腰三角形时，OA的长为
或
；
（3）连接ON，过点N作NF⊥AB，垂足为F．
在Rt△NFB中，∠NFB=90°，
，
设NB=y，则NF=
y，BF=
y，
故可得OF=10-x-
y，
∵⊙N和⊙O外切，
∴ON=x+y，
在Rt△NFO中，∠NFO=90°，则ON2=OF2+NF2，
即
，
故可得
，定义域为：0＜x＜5．
点评：此题属于圆的综合题，涉及了直线与圆的位置关系、勾股定理及等腰三角形的性质，综合性较强，难点在第二问和第三问，解答时注意分类讨论思想的运用，另外要求我们能将所学知识融会贯通．
（2）根据（1）得出MD＞MP，OM＞MP，从而△OMP是等腰三角形可分两种情况讨论，①OP=MP，②OM=OP，分别运用相似三角形的性质求解OA即可；
（3）先表示出NF、BF，从而可得出OF的表达式，由⊙N和⊙O外切，可得出ON=x+y，在Rt△NFO中利用勾股定理，可得出y与x的关系式，也可得出自变量的定义域．
解答：
解：（1）⊙M与直线AB相离，理由如下：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵
，AC=6，∴AB=10，
．过点M作MD⊥AB，垂足为D，
在Rt△MDB中，∠MDB=90°，
，∵MB=2，
∴
＞1，故可得⊙M与直线AB相离；
（2）∵＞1=MP，∴OM＞MP．
分两种情况讨论，
1°当OP=MP时，此时OP=MP=PB，
故易得∠MOB=90°，
∴
，∴OB=
，∴OA=
；2°当OM=OP时，过点O作OE⊥BC，垂足为E
EB=EP+PB=
+1=，此时，∴OB=
，∴OA=
．综上可得，当△OMP是等腰三角形时，OA的长为
或；（3）连接ON，过点N作NF⊥AB，垂足为F．
在Rt△NFB中，∠NFB=90°，，设NB=y，则NF=
y，BF=y，故可得OF=10-x-
y，∵⊙N和⊙O外切，
∴ON=x+y，
在Rt△NFO中，∠NFO=90°，则ON2=OF2+NF2，
即
，故可得
，定义域为：0＜x＜5．点评：此题属于圆的综合题，涉及了直线与圆的位置关系、勾股定理及等腰三角形的性质，综合性较强，难点在第二问和第三问，解答时注意分类讨论思想的运用，另外要求我们能将所学知识融会贯通．
练习册系列答案
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已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于E，求⊙O的半径．
如图，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，点D是AB的中点，点O是△ABC的重心，则OD的长为（ ）在Rt△ABC中，已知a及∠A，则斜边应为（ ）
| A、asinA | ||
B、
| ||
| C、acosA | ||
D、
|
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD：BD=9：4，则AC：BC的值为（ ）| A、9：4 | B、9：2 | C、3：4 | D、3：2 |