Question

已知抛物线的顶点是C(0，a)（a>0，a为常数），并经过点(2a，2a)，点D(0，2a)为一定点．

【小题1】求含有常数a的抛物线的解析式
【小题2】设点P是抛物线上任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD＝PH；
【小题3】设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点．若DA＝2DB，且S△ABD＝4，求a的值．

Answer 1

p;【答案】
【小题1】y= x²+a 
【小题2】见解析
【小题3】a = 2解析:
p;【解析】（1）设抛物线的解析式为y=kx²+a 
∵点D（2a，2a）在抛物线上
4a²k+a = 2a     ∴k =  
∴抛物线的解析式为y= x²+a 
（2）设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴，在Rt△GDP中，
由勾股定理得：PD²=DG²+PG²=(y–2a)²+x² =y² – 4ay+4a²+x²  
∵y= x²+a  ∴x² =" 4a" ´ (y– a)=" 4ay–" 4a² 
∴PD ²= y²– 4ay+4a² +4ay– 4a²= y² =PH²
∴PD = PH 
（3）过B点BE ⊥ x轴，AF⊥x轴

由（2）的结论：BE=DB  AF=DA
∵DA=2DB  ∴AF=2BE  ∴AO = 2BO
∴B是OA的中点∴C是OD的中点
连结BC
∴BC=  =  =" BE" = DB
过B作BR⊥y轴
∵BR⊥CD   ∴CR=DR，OR=" a" +  =  
∴B点的纵坐标是，又点B在抛物线上
∴ = x²+a   ∴x² =2a^2，∵x>0      ∴x = a，∴B (a， ) 
AO = 2OB， ∴S_△ABD=S_△OBD = 4
所以，´2a´a= 4
∴a²= 4   ∵a>0  ∴a = 2