题目内容

如图．P是等边△ABC边AB上任一点，AB=2，PE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FM⊥AB于M，设BP=x（x＞0）．
（1）用含x的代数式表示AM；
（2）当x等于多少时，点P和点M重合？

解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠B=∠C=∠A=60°，
∵PE⊥BC，EF⊥AC，FM⊥AB，
∴∠PEB=∠EFC=∠FMA=90°，
∴由三角形内角和定理得：∠BPE=∠FEC=∠AFM=30°，
∵BE= $\text{[math]}$ BP，CF= $\text{[math]}$ CE，AM= $\text{[math]}$ AF，
∵BP=x，AB=BC=AC=2，
∴BE= $\text{[math]}$ x，CE=2- $\text{[math]}$ x，CF= $\text{[math]}$ CE=1- $\text{[math]}$ x，AF=2-CF=2-（1- $\text{[math]}$ x）=1+ $\text{[math]}$ x，
∴AM= $\text{[math]}$ AF= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ x．

（2）当P和M重合时，AM+PB=AB=2，
即x+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ x=2，
x= $\text{[math]}$ ，
即当x= $\text{[math]}$ 时，点P和点M重合．
分析：（1）根据等边三角形的性质得出AB=BC=AC=2，∠B=∠C=∠A=60°，根据三角形内角和定理求出∠BPE=∠FEC=∠AFM=30°，推出BE= $\text{[math]}$ BP，CF= $\text{[math]}$ CE，AM= $\text{[math]}$ AF，代入求出即可；
（2）当P和M重合时得出方程x+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ x=2，求出方程的解即可．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形性质，等边三角形的性质的应用，关键是用x把各个线段表示出来．