题目内容

如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCD(O为原点)，点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为(0,6)；将BCD沿BD折叠(D点在OC边上)，使C点落在OA边的E点上，并将BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD的点F上．

(1)直接写出∠ABE、∠CBD的度数，并求折痕BD所在直线的函数解析式；

(2)过F点作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过B、H、D三点，求抛物线的函数解析式；

(3)若点P是矩形内部的点，且点P在(2)中的抛物线上运动(不含B、D点)，过点P作PN⊥BC分别交BC和BD于点N、M，设h＝PM－MN，试求出h与P点横坐标x的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PM＜NM、PM＝MN、PM＞MN成立的x的取值范围．

答案：
解析：

　　(1)∠ABE＝∠CBD＝30°

　　在△ABE中，AB＝6

　　BC＝BE＝

　　CD＝BCtan30°＝4

　　∴OD＝OC－CD＝2

　　∴B(，6)　　D(0，2)

　　设BD所在直线的函数解析式是y＝kx＋b

　　　　∴

　　所以BD所在直线的函数解析式是

　　(2)∵EF＝EA＝ABtan30°＝　　∠FEG＝180°－∠FEB－∠AEB＝60°

　　又∵FG⊥OA

　　∴FG＝EFsin60°＝3　　GE＝EFcos60°＝　　OG＝OA－AE－GE＝

　　又H为FG中点

　　∴H(，)　　4分

　　∵B(，6)、D(0，2)、H(，)在抛物线图象上

　　　　∴

　　∴抛物线的解析式是

　　(2)∵MP＝

　　MN＝6－

　　H＝MP－MN＝

　　由得

　　该函数简图如图所示：

　　当0＜x＜时，h＜0，即HP＜MN

　　当x＝时，h＝0，即HP＝MN

　　当＜x＜时，h＞0，即HP＞MN


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