Question

等边△AOB在平面直角坐标系中（图1），已知点A（2，0），将△AOB绕着点O顺时针方向旋转的角度为α（0°＜α＜360°）得到△OA₁B₁

（1）直接写出点B的坐标

（1，

3

）

；
（2）当α=30°时，△AOB与△OA₁B₁重合部分（图2的阴影部分）的面积是

6-3

3

；
（3）当点A₁B₁的纵坐标相同时，α的值为

120°或300°

；
（4）当60°＜α＜180°时，设直线A₁B₁与直线BA相交于点P，若PA、PB₁的长是方程x²-mx+m=0的两个实数根，求此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据A点坐标可知，正三角形的边长是2，过B作x轴的垂线，根据三角函数即可求得；
（2）阴影部分的面积=S_△OAN-S_△QAM，而这两个三角形的面积很容易得到；
（3）当A₁，B₁的纵坐标相同时，A₁B₁∥x轴，a₁=120°或a₂=300°；
（4）可以证明PA=PB₁，即方程x²-mx+m=0的两个相等实数根，根据根的判别式即可求得m的值，从而求得PA，PB₁的长，得到P的坐标．

解答：解：（1）B的坐标是（1，

3

）；

（2）图2中的阴影部分的面积=S_△OAN-S_△QAM=

1

2

×1×

3

-

1

2

×

3

×（2-

3

）²=6-3

3

；

（3）∵当A₁，B₁的纵坐标相同时，A₁B₁∥x轴，
∴a₁=120°或a₂=300°；

（4）连接AB₁，
∵OA=OB₁=2，
∴∠OAB₁=∠0B₁A，
∴∠PB₁G=∠B₁AH，
又∵∠PAB₁=180°-60°-∠B₁AH=120°-∠B₁AH，
∠PB₁A=180°-60°-∠AB₁G=120°-∠AB₁G，
∴∠PAB₁=∠PB₁A，
∴PA=PB₁（6分）
∴方程x²-mx+m=0的两个相等实数根，
∴△=（-m）²-4m=0，
解得：m₁=0（舍去），m₂=4，
方程为：x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=2，
∴PA=PB₁=2，
在直角△APM中，PM=AP•sin60°=2×

3

2

=

3

，
AM=AP•cos60°=1，则OM=OA-AM=3-1=2．
∴P点坐标为（3，-

3

）．
故答案为：（1）（1，

3

）；（2）6-3

3

；（3）120°或300°

点评：本题综合运用了平行于x轴的点的坐标的关系，涉及的知识有：坐标与图形性质，锐角三角函数定义，一元二次方程的根的判别式，题目难度较大．