题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=6，∠BAC=30°，点E在CD边上．（1）若AE=4，求梯形ABCE的面积；
（2）若点F在AC上，且∠BFA=∠CEA，求
| BF | AE |
分析：（1）在△ABC中，利用∠BAC=30°的正切求出BC的长，再根据勾股定理，利用△ADE的三边求出DE的长度，即可求出EC，代入梯形面积公式即可求解．
（2）求出对角线AC的值，利用△ABF和△CAE相似的性质即可求解．
（2）求出对角线AC的值，利用△ABF和△CAE相似的性质即可求解．
解答：解：∵矩形ABCD，
∴∠ABC=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=6，（1分）
在Rt△ABC中，AB=6，∠BAC=30°，BC=ABtan∠BAC=2
，（2分）
（1）在Rt△ADE中，AE=4，AD=BC=2
，
∴DE=
=2
∴EC=6-2=4．
∴梯形ABCE的面积S=
（EC+AB）•BC=
（4+6）×2
=10
．（3分）
（2）在Rt△ABC中，AB=6，∠BAC=30°，
∴AC=AB÷cos30°=4
，
在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BFA=∠CEA，
∴△ABF∽△CAE，
∴
=
=
=
．
∴∠ABC=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=6，（1分）
在Rt△ABC中，AB=6，∠BAC=30°，BC=ABtan∠BAC=2
| 3 |
（1）在Rt△ADE中，AE=4，AD=BC=2
| 3 |
∴DE=
| AE2-AD2 |
∴EC=6-2=4．
∴梯形ABCE的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
（2）在Rt△ABC中，AB=6，∠BAC=30°，
∴AC=AB÷cos30°=4
| 3 |
在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BFA=∠CEA，
∴△ABF∽△CAE，
∴
| BF |
| AE |
| AB |
| AC |
| 6 | ||
4
|
| ||
| 2 |
点评：（1）利用勾股定理求出DE的长，进而得到上底EC的长度是求面积的关键；
（2）利用三角形相似求解对应边的比值，关键在于对角线AC的求解，利用三角函数AC不难求解．
（2）利用三角形相似求解对应边的比值，关键在于对角线AC的求解，利用三角函数AC不难求解．
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．
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