Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，直线BE交AC于点F，若△ABC的面积为24，则△AEF的面积为

 

．

Answer 1

考点：三角形的面积

专题：

分析：先过D作DG∥BF，交AC于G，设S_△AEF=x，S_△CDG=y，由于△ABC的面积为24，BD=CD，可求S_△ABD，S_△ACD，又因为E是AD中点，可求S_△ABE．在△ADG中，DG∥BF，E是AD中点，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知AF=FG，从而可知△AEF∽△ADG，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得∴S_△ADG=4x，同理可求S_△BCF=4y，再利用三角形面积之间的加减关系可得关于x、y的二元一次方程，求解即可．

解答：解：过D作DG∥BF，交AC于G，设S_△AEF=x，S_△CDG=y，
∵△ABC的面积为24，BD=CD，
∴S_△ABD=S_△ACD=

1

2

×S_△ABC=12，
又∵E是AD中点，
∴S_△ABE=S_△BDE=

1

2

×S_△ABD=6，
在△ADG中，∵DG∥BF，E是AD中点，
∴S_△AEF：S_△ADG=1：4，
∴S_△ADG=4x，
同理在△BCF中，∵DG∥BF，BD=CD，
∴S_△BCF=4y，
则有

4x+y=12 6+3x+y=4y

，
解得

x=2 y=4

，
则△AEF的面积为2．
故答案为：2．

点评：本题考查了三角形的面积计算、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定、相似三角形的面积比等于相似比的平方．关键是作辅助线，所作的平行线能用到两个三角形中．