题目内容
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为M，N．下面四个结论：①如果AD⊥BC，那么EM=EN； ②如果EM=EN，那么∠BAD=∠CAD；
③如果EM=EN，那么AM=AN； ④如果EM=EN，那么∠AEM=∠AEN．
其中正确有（ ）
分析：由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的性质，可证得AD是△ABC的角平分线，又由EM⊥AB，EN⊥AC，根据角平分线的性质，即可证得EM=EN；
由EM=EN，EM⊥AB，EN⊥AC，利用HL可证得△AEM≌△AEN，继而可得∠BAD=∠CAD、AM=AN、∠AEM=∠AEN．
由EM=EN，EM⊥AB，EN⊥AC，利用HL可证得△AEM≌△AEN，继而可得∠BAD=∠CAD、AM=AN、∠AEM=∠AEN．
解答：解：①∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EM⊥AB，EN⊥AC，
∴EM=EN，
故①正确；
②③④∵EM⊥AB，EN⊥AC，
∴∠AME=∠ANE=90°，
在Rt△AEM和Rt△AEN中，
∵
，
∴Rt△AEM≌Rt△AEN（HL），
∴∠BAD=∠CAD，AM=AN，∠AEM=∠AEN；
故②③④正确；
故选D．
∴∠BAD=∠CAD，
∵EM⊥AB，EN⊥AC，
∴EM=EN，
故①正确；
②③④∵EM⊥AB，EN⊥AC，
∴∠AME=∠ANE=90°，
在Rt△AEM和Rt△AEN中，
∵
|
∴Rt△AEM≌Rt△AEN（HL），
∴∠BAD=∠CAD，AM=AN，∠AEM=∠AEN；
故②③④正确；
故选D．
点评：此题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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