Question

如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在X轴，y轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，BD=

1

4

OA=

2

，AB=3，∠OAB=45°，E，F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°，如果△AEF是等腰三角形时．将△AEF沿EF对折得△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为

17

8

或1或

41 2 -48

4

．

Answer 1

分析：若△AEF是等腰三角形，应分三种情况讨论：
①AF=EF，此时△AEF是等腰Rt△，A′在AB的延长线上，重合部分是四边形EDBF，其面积可由梯形ABDE与△AEF的面积差求得；
②AE=EF，此时△AEF是等腰Rt△，且E是直角顶点，此时重合部分即为△A′EF，由于∠DEF=∠EFA=45°，得DE∥AB，即四边形AEDB是平行四边形，则AE=BD，进而可求得重合部分的面积；
③AF=AE，此时四边形AEA′F是菱形，重合部分是△A′EF；由△ODE∽△AEF，那么此时OD=OE=3，由此可求得AE、AF的长，过F作x轴的垂线，即可求出△AEF中AE边上的高，进而可求得△AEF（即△A′EF）的面积．

解答：解：当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；
①当EF=AF时，如图（1），

∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；
∴△AEF为等腰直角三角形，D在A′E上（A′E⊥OA），
B在A′F上（A′F⊥EF），
∴△A′EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；
∵AE=OA-OE=OA-CD=4

2

-

3

2

2

=

5

2

2

，
∴AF=AE•sin45°=

5 2

2

×

2

2

=

5

2

，
S_△AEF=

1

2

EF×AF=

1

2

×（

5

2

）²=

25

8

，
∴S_梯形AEDB=

1

2

（BD+AE）•DE=

1

2

×（

2

+

5 2

2

）×

3 2

2

=

21

4

，
∴S_{四边形BDEF}=S_梯形AEDB-S_△AEF=

21

4

-

25

8

=

17

8

；
（也可用S_阴影=S_△A'EF-S_△A'BD），
②当EF=AE时，如图（2），

此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA，
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=

2

，
∴S_△A′EF=S_△AEF=

1

2

×（

2

）²=1；
③当AF=AE时，如图（3），

四边形AEA′F为菱形且△A′EF在五边形OEFBC内．
∴此时△A′EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A′EF面积．
易得△ODE∽△AEF，则OD=OE=3，
∴AE=AF=OA-OE=4

2

-3，
过F作FH⊥AE于H，则FH=AF•sin45°=（4

2

-3）×

2

2

=4-

3 2

2

，
∴S_△A′EF=S_△AEF=

1

2

AE•FH=

1

2

×（4

2

-3）•（4-

3 2

2

）=

41 2 -48

4

，
综上所述，△A′EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为

17

8

或1或

41 2 -48

4

．
故答案为：

17

8

或1或

41 2 -48

4

．

点评：此题考查了四边形综合题，涉及了梯形、平行四边形、等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定和性质，难度较大，注意分类讨论思想的运用．