Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点是抛物线顶点，点是直线下方的抛物线上一动点．

（）这个二次函数的表达式为____________．

（）设直线的解析式为，则不等式的解集为___________．

（）连结、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

（）当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积．

（）若把条件“点是直线下方的抛物线上一动点．”改为“点是抛物线上的任一动点”，其它条件不变，当以、、、为顶点的四边形为梯形时，直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）x≤0或x≥3；（3）；（4）当P（，）时，S四边形ABPC最大；（5）点P的坐标为（－2，5），（2，－3）或（4，5）．

【解析】试题分析：（1）直接设成顶点式即可得出抛物线解析式；

（2）先确定出点B，C坐标，再根据图象直接写出范围；

（3）利用菱形的性质得出PO=PC即可得出点P的纵坐标，代入抛物线解析式即可得出结论；

（4）先利用坐标系中几何图形的面积的计算方法建立函数关系式即可求出面积的最大值；

（5）先求出直线BC，BC，CD的解析式，分三种情况利用梯形的性质，一组对边平行即可得出直线DP1，CP2，BP3的解析式，分别联立抛物线的解析式建立方程组求解即可．

试题解析：解：（1）∵点D（1，﹣4）是抛物线y=x2+bx+c的顶点，∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3．故答案为：y=x2﹣2x﹣3；

（2）令x=0，∴y=﹣3，∴C（0，﹣3），令y=0，∴x2﹣2x﹣3=0，∴x=﹣1或x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴不等式x2+bx+c≥kx+m的解集为x＜0或＞3．故答案为：x＜0或＞3；

（3）如图1．∵四边形POP′C为菱形，∴PO=PC．∵C（0，﹣3），∴点P的纵坐标为﹣．∵P在抛物线y=x2﹣2x﹣3上，∴﹣=x2﹣2x﹣3，∴x=或x=（舍），∴P（．﹣）；

（4）如图2，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC的解析式为y=x﹣3，过点P作PE∥y轴交BC于E，设P（m，m2﹣2m﹣3），（0＜m＜3）

∴E（m，m﹣3），∴PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴S四边形ABPC=S△ABC+S△PCE+S△PBE=ABOC+PE|xP|+PE|xB﹣xP|

=ABOC+PE（|xP|+|xB﹣xP|）=×4×3+（﹣m2+3m）×（m+3﹣m）

=6+×（﹣m2+3m）=﹣（m﹣）2+

当m=时，S四边形ABPC最大=．

当m=时，m2﹣2m﹣3=，∴P（，）．

（5）如图，由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），D（1，﹣4），∴直线BC的解析式为y=x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6，直线CD的解析式为y=﹣x﹣3．∵以P、C、D、B为顶点的四边形为梯形．∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3①；

①当DP1∥BC时，∴直线DP1的解析式为y=x﹣5②，联立①②解得，点P1（2，﹣3），[另一个点为（1，﹣4）和点D重合，舍去]

②当CP2∥BD时，∴直线CP2的解析式为y=2x﹣3③，联立①③解得点P2（4，5）

③当BP3∥CD时，∴直线BP3∥CD的解析式为y=﹣x+3④，联立①④解得点P3（﹣2，5）．

综上所述：以P、C、D、B为顶点的四边形为梯形时，点P的坐标为（﹣2，5）、（2，﹣3）或（4，5）．