Question

如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：AE=BC．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=CE；
（2）判断出△ABF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AF=BF，根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角角边”证明△AEF和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答：（1）证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=CE；

（2）证明：∵BF⊥AC，∠BAC=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，

∠EAF=∠CBF ∠AFE=∠BFC AF=BF

，
∴△AEF≌△BCF（AAS），
∴AE=BC．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上的性质，熟记各性质是解题的关键．