Question

【题目】已知抛物线 (a、b、c是常数，)的对称轴为直线．

(1) b=______；(用含a的代数式表示)

(2)当时，若关于x的方程在的范围内有解，求c的取值范围；

(3)若抛物线过点(，)，当时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．

Answer 1

【答案】(1)4a;(2)见解析;(3) 或.

【解析】分析：（1）由抛物线对称轴方程可以求解；

（2）当a = -1时, 抛物线y= x2 +4x=（x+2）2 -4与直线y = c在-3 <x<1的范围内有交点. 故可得-4≤ c< 5；

（3）由抛物线的对称性结合抛物线上的点到x轴距离的最大值为4可求解.

详解：（1）∵抛物线 (a、b、c是常数，)的对称轴为直线，

∴，

∴b=4a ；

（2）当a = -1时,∵关于x的方程在-3< x <1的范围内有解，即关于x 的方程x2+4x -c=0在-3< x <1的范围内有解，

∴b2 -4ac =16+4c ≥0,即c ≥ -4.

∴抛物线y= x2 +4x=（x+2）2 -4与直线y = c在-3 <x<1的范围内有交点.

当x= -2时，y= -4，当x=1时，y= 5.

故可得： -4≤ c< 5.

（3）∵抛物线y=ax2+4ax+c过点（-2，-2），

∴c = 4a -2.

∴抛物线解析式为：.

① 当a > 0时，抛物线开口向上.

∵抛物线对称轴为x=-2.

∴当-1≤x≤0时,y随x增大而增大.

∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，

由图像可知：4a -2=4.

∴.

② 当a < 0时，抛物线开口向下.

∵抛物线对称轴为x=-2.

∴当-1≤x≤0时,y随x增大而减小.

∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，

由图像可知：4a -2= -4.

∴.

综上所述: .