如图.以长方形ABCO中点O为原点.以OC.OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.点A满足$\sqrt{a-2b}$+|b-2|=0．(1)求点A.B和C的坐标．(2)已知坐标轴上有两动点P.Q同时出发.P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动．Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿O→A→B→C的路线移动.点Q到达C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．如图，以长方形ABCO中点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足$\sqrt{a-2b}$+|b-2|=0．
（1）求点A，B和C的坐标．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动．Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿O→A→B→C的路线移动，点Q到达C点整个运动随之结束．若长方形对角线AC，BO的交点D的坐标是（1，2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S_△ODP=S_△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC=∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG=∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，下列两个结论：①$\frac{∠OHC-∠ACE}{∠OEC}$的值不变；②$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}$的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求其值．

分析（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值即可；
（2）①当0＜t≤2时；②当2≤t≤3时，③当3≤t≤5时，再根据S_△ODP=S_△ODQ，列出关于t的方程，求得t的值即可；
（3）过H点作AC的平行线，交x轴于P，先判定OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}$进行计算即可．

解答解：（1）∵$\sqrt{a-2b}$+|b-2|=0，
∴a-2b=0，b-2=0，
解得a=4，b=2，
∴A（0，4），C（2，0），
∵AB∥x轴，BC∥y轴，
∴B（2，4）；

（2）由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
①当0＜t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，
∴S_△DOP=$\frac{1}{2}$OP•y_D=$\frac{1}{2}$（2-t）×2=2-t，
∵S_△ODP=S_△ODQ，
∴2-t=t，
∴t=1；
②当2≤t≤3时，点Q在线段AB上，即CP=t，OP=t-2，QB=6-2t，
S_△DOP=$\frac{1}{2}$OP•y_D=$\frac{1}{2}$（t-2）×2=t-2，
S_△DOP=S_△OBQ-S_△DBQ=$\frac{1}{2}$QB•AO-$\frac{1}{2}$QB（y_B-y_D）=$\frac{1}{2}$×（6-2t）×4-$\frac{1}{2}×$（6-2t）（4-2）=6-2t，
∵S_△DOQ=S_△ODQ，
∴t-2=6-2t，
∴t=$\frac{8}{3}$；
③当3≤t≤5时，点Q在线段BC上，CP=t，OP=t-2，QB=2t-6，
S_△DOP=$\frac{1}{2}$OP•y_D=$\frac{1}{2}$（t-2）×=t-2，
S_△DOQ=S_△OBQ-S_△DBQ=$\frac{1}{2}$QB•OC-$\frac{1}{2}$QB（x_B-x_D）=$\frac{1}{2}$×（2t-6）-$\frac{1}{2}$（6-2t）（2-1）=t-3，
∵S_△ODP=S_△ODQ，
∴t-2=t-3，无解，
此情况下不存在这样的t，
∴当t=1或t=$\frac{8}{3}$时，S_△ODP=S_△ODQ；

（3）$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}$的值不变，其值为2．
∵∠2+∠3=90°，
又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO=180°，
∴OG∥AC，
∴∠1=∠CAO，
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4=∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，
∴$\frac{∠OHC+∠ACE}{∠OEC}$=$\frac{∠1+∠2+∠4+∠4}{∠1+∠4}$=$\frac{2（∠1+∠4）}{∠1+∠4}$=2．