Question

如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O中，∠AOB=90°，点C是的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．
（1）当x=2时，求y的值；
（2）求y关于x的函数解析式；
（3）如果⊙O₁与⊙O相交于点A、C，且⊙O₁与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙O₁的半径；
（4）是否存在点C，使得CD²=DB•DO成立，如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得=，然后将相关线段的长度代入求得y的值；
（2）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得=，然后将相关线段的长度代入求得y关于x的函数解析式，再由函数的性质求其定义域；
（3）当BD=OB时，根据（1）的函数关系式求得y=，x=6．分两种情况来解答O₁A的值①当点O₁在线段OE上时，O₁E=OE-OO₁=2；②当点O₁在线段EO的延长线上时，O₁E=OE+OO₁=6，进而求出即可；
（4）当点C为AB的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，∠OCA=∠OCB==67.5°，然后由三角形的内角和定理求得∠DCB=45°，由等量代换求得∠DCB=∠BOC．根据相似三角形的判定定理AA证明△DCB∽△DOC．
解答：（1）解：如图1，过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
∴AE=AC=1，OE==2．
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，
∴△ODE∽△AOE．
∴=，
∵OD=y+5，
∴=，
解得：y=10-5；

（2）解：如图1，过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
∴AE=AC=x，OE==．
∵∠DEO=∠AOB=90°，
∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，
∴△ODE∽△AOE．
∴=，
∵OD=y+5，
∴=．
∴y关于x的函数解析式为：
y=，定义域为：0＜x＜5．

（3）解：如图2，当BD=OB时，
则y=，
即=，
∴解得：x=6．
∴AE=x=3，OE==4．
当点O₁在线段OE上时，
O₁E=OE-OO₁=2，
O₁A===．
当点O₁在线段EO的延长线上时，O₁E=OE+OO₁=6，
O₁A===．
∴⊙O₁的半径为或3．

（4）存在，当点C为的中点时，△DCB∽△DOC．
证明：∵当点C为的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，
又∵OA=OC=OB，
∴∠OCA=∠OCB==67.5°，
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．
又∵∠D=∠D，
∴△DCB∽△DOC．
∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．
点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理．此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线OE⊥AC，利用相似三角形的判定定理及性质解答，解答（3）时注意分两种情况讨论，不要漏解．