Question

如图，直线y=-

3

3

x+1与y轴交于点A、与x轴交于点B，在△OAB内作等边三角形，使它的一边在x轴上，一个顶点在边AB上，作出的第1个等边三角形是△OA₁B₁，第2个等边三角形是△B₁A₂B₂，第3个等边三角形是△B₂A₃B₃，…，则第6个等边三角形的边长是

 

．

Answer 1

分析：根据题目已知条件可推出，OA₁=

3

2

OC=

3

2

，B₁A₂=

3

2

A₁B₁=

3

22

，依此类推，第n个等边三角形的边长等于

3

2n

．

解答：解：当y=0时OB=

3

，当x=0时，OA=1，
∴AB=2，
所以第1个等边三角形的边长等于OA₁=

3

2

OA=

3

2

，
∴∠OBA=30°，∠OAB=60°．而△OA₁B₁为等边三角形，∠A₁OB₁=60°，
∴∠AOA₁=30°，则∠AA₁O=90°．
在Rt△AA₁O中，OA₁=

3

2

OA=

3

2

，
同理得：B₁A₂=

1

2

A₁B₁=

3

22

，
依此类推，第6个等边三角形的边长等于

3

26

．
故答案为：

3

26

．

点评：本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律．