Question

如图，直线y=-

3

3

 x+1和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为边在第一象限作等边三角形ABC，且在第一象限内有点P（m，

1

2

），使△ABP的面积与△ABC的面积相等，求m的值．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，令直线方程中x与y分别为0，求出相应的y与x的值，确定出点A与B的坐标，进而求出AB的长即为等边三角形的边长，求出等边三角形的高即为点C到直线AB的距离，由△ABP和△ABC的面积相等，得到点C与点P到直线AB的距离相等，利用点到直线的距离公式表示出点P到直线AB的距离d，让d等于求出的高列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：
由直线 y=-

3

3

x+1，令x=0，解得y=1，
故点B（0，1），
令y=0，解得x=

3

，
故点A（

3

，0），
∵△ABC为等边三角形，且OA=

3

，OB=1，
根据勾股定理得：AB=2，即等边三角形的边长为2，
故过C作AB边上的高为2×

3

2

=

3

，即点C到直线AB的距离为

3

，
由题意△ABP和△ABC的面积相等，
则P到直线AB的距离d=

3

2

|-

3

3

m+

1

2

|=

3

，
即-

3

3

m+

1

2

=2或-

3

3

m+

1

2

=-2，
解得：m=-

3 3

2

（舍去）或m=

5 3

2

．
则m的值为

5 3

2

．

点评：此题考查了一次函数的性质，等边三角形的性质以及点到直线的距离公式．学生做题时注意采用数形结合的思想及转化的思想的运用，在求出m的值后要根据点P在第一象限舍去不合题意的解．