Question

（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA+PB=PC，证明∠PQC=90°；

（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．

 

Answer 1

【答案】

（1）证明见解析（2）满足：

【解析】由旋转得△BAP≌△BCQ                   满足：

      ∴PA=CQ    PB=BQ                         由旋转得△BAP≌△BCQ

∵∠PBQ=60                            ∴PA=CQ    PB=BQ 

∴△PBQ为等边三角形                     ∠PBQ=

∴PB=PQ                              ∴ 

∵PA+PB=PC                       ∵

∴                    ∴

∴∠PQC=90                           ∴ 

（1）由旋转的性质可得到的条件是：①BP=BQ、PA=QC，②∠ABP=∠CBQ；

由②可证得∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°，联立BP=BQ，即可得到△BPQ是等边三角形的结论，则BP=PQ；将等量线段代换后，即可得出PQ²+QC²=PC²，由此可证得∠PQC=90°；

（2）由（1）的解题思路知：△PBQ是等腰Rt△，则PQ²=2PB2，其余过程同（1），只不过所得结论稍有不同．