Question

已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分交于点A，C，点A的坐标为（-

3

，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．
（1）求OC的长和∠CAO的度数；
（2）求过D点的反比例函数的表达式．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ACO中，根据已知条件可以求得OA，AC的长，再根据勾股定理求得OC的长，根据锐角三角函数的概念求得∠CAO的度数；
（2）要求反比例函数的表达式，需要求得点D的坐标．作DE⊥x轴于点E，根据对顶角相等和弦切角定理可以求得∠DOE=60°．所以只需再求得OD的长，根据三角形的外角的性质可以求得∠ADO=30°．则OD=OA．从而求得OE，DE的长，再根据点D的坐标求得反比例函数的表达式．

解答：解：（1）∵∠AOC=90°，
∴AC是⊙B的直径．
∴AC=2．
又∵点A的坐标为（-

3

，0），
∴OA=

3

．
∴OC=

AC2-OA2

=

22-( 3 )2

=1．
∴sin∠CAO=

OC

AC

=

1

2

．
∴∠CAO=30°；

（2）如图，连接OB，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵OD为⊙B的切线，
∴OB⊥OD．
∴∠BOD=90°．
∵AB=OB，
∴∠AOB=∠OAB=30°．
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°．
在△AOD中，∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD．
∴OD=OA=

3

．
在Rt△DOE中，∠DOE=180°-120°=60°，
∴OE=OD•cos60°=

1

2

OD=

3

2

，ED=OD•sin60°=

3

2

．
∴点D的坐标为(

3

2

，

3

2

)．
设过D点的反比例函数的表达式为y=

k

x

，
∴k=

3

2

×

3

2

=

3 3

4

．
∴y=

3 3

4x

．

点评：此题主要是运用了30度的直角三角形的性质、切线的性质和等腰三角形的判定和性质，综合性较强，同学们要重点掌握．