Question

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交y轴于（0，-15），且过点（3，0）和（4，2

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）；
（1）求抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式；
（2）设抛物线的顶点为P，抛物线与x轴的两个交点为A、B，以AB为直径作圆M，过P作⊙M的切线，求所作切线的解析式．

Answer 1

分析：（1）把（0，-15），（3，0）和（4，2

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）代入抛物线y=ax²+bx+c就可以得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值．求出函数解析式．
（2）根据抛物线的解析式就可以求出A，B，P，M的坐标，过P作⊙M的切线一定垂直于过切点的半径，半径MP的函数解析式可以利用待定系数法求出，切线的解析式中一次项系数，与MP的解析式中一次项系数互为负倒数，因而利用待定系数法，把P点的坐标代入就可以得到函数的解析式．

解答：解：（1）根据题意得到：

9a+3b+c=0 16a+4b+c=2 7 9 c=-15

，
解得

a=- 5 9 b= 20 3 c=-15

，
因而函数的解析式就是y=-

5

9

x²+

20

3

x-15．
（2）即：y=-

5

9

（x-6）²+5，
∴顶点为P（6，5）；可得A（3，0），B（9，0），M（6，0）
设直线PD为：y=kx+b（k≠0），则k=±tan∠CDM=±

4

3

，
∴y=±

4

3

x+b（k≠0），
又∵PD过点P（6，5），
∴5=±

4

3

×6+b，
解得：

k= 4 3 b=-3

或

k=- 4 3 b=13

，
故：所求切线解析式为：y=

4

3

x-3或y=-

4

3

x+13．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及互相垂直的两条直线的解析式的关系．