Question

已知P为⊙O的直径DC延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B，连接AB交PO于E，过D作DF⊥PA延长线于F，连AC、EF、BD．则下列结论正确的是

 

．
①C为△PAB内心；②AC⊥EF；③AB=2AF；④BD为△PAB外接圆切线．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：连接AD，BC，根据切线的性质，得出PA=PB，∠APD=∠BPD，根据等腰三角形的性质得出PE⊥AB，AB=2AE，通过△APD≌△BPD得出∠ADC=∠BDC，根据圆周角的性质得出

AC

=

BC

，进而得出∠BAC=∠ABC，根据圆周角和弦切角的性质得出∠PAC=∠ABC，即可得出AC是∠PAB的平分线，BC是∠PBA的平分线，从而确定C为△PAB内心，故①正确；
根据直径所对的角是直角，得出AD⊥AC，由于AD与EF相交，所以AC不会垂直于EF，故②错误；
根据弦切角的性质以及互为余角的性质得出AD是∠PDF的平分线，根据角平分线的性质即可得出AE=AF，进而得出AB=2AF，故③正确；
由于BC⊥BD，C为△PAB内心，只有C同时也是外心才能判定BD为△PAB外接圆切线，即△PAB是等边三角形，由于不能求得是等边三角形，故④错误．

解答：解：连接AD，BC，
∵过点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B，
∴PA=PB，
∴∠APD=∠BPD，
∴PE⊥AB，AB=2AE，
在△APD和△BPD中，

PA=PB ∠APD=∠BPD PD=PD

，
∴△APD≌△BPD（SAS），
∴∠ADC=∠BDC，
∴

AC

=

BC

，
∴∠BAC=∠ABC，
∵PA、PB是切线，
∴∠PAC=∠ABC，
∴∠PAC=∠BAC，
∴AC是∠PAB的平分线，
同理，BC是∠PBA的平分线，
∴C为△PAB内心，故①正确；
∵DC是直径，
∴AD⊥AC，
∵AD与EF相交，
∴AC不会垂直于EF，故②错误；
∵∠PAC=∠ADC，∠DAC=90°，
∴∠DAF+∠PAC=90°，
∴∠ADC+∠DAF=90°，
∵DF⊥PA，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADC=∠ADF，
∴AE=AF，
∴AB=2AF，故③正确；
∵CD是直径，
∴CB⊥BD，
要使BD为△PAB外接圆切线，BC必经过△PAB外接圆的圆心，
∵PD垂直平分AB，
∴点C即为三角形的外心，
∵C为△PAB内心，
∵不能确定△PAB是等边三角形，
∴BD为△PAB外接圆切线不能确定，故④错误．
故答案为①③．

点评：本题考查了切线的性质，圆周角，弦切角的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．