Question

如图，△ABC中，BD、CE是高，EH⊥BC于H、交BD于G、交CA的延长线于M．求证：HE²=HG•MH．

Answer 1

分析：先证△BHE∽△EHC，推EH²=BH•CH，再证△BHG∽△MHC得到比例式，推出HF•HM=BH•HC，即可求出答案．

解答：证明：∵CE⊥AC，EH⊥BC，
∴∠EHB=∠EHC=90°，∠BEC=90°，
∴∠EBH+∠BEH=90°，∠BEH+∠CEH=90°，
∴∠EBH=∠CEH，
∵∠EHB=∠EHC，
∴△BHE∽△EHC，
∴

EH

CH

=

BH

EH

，
∴EH²=CH•BH，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC+∠BCD=90°，
又∠M+∠HCM=90°，
∴∠DBC=∠M，
∠GHB=∠MHC=90°，
∴△BHG∽△MHC，
∴

HG

CH

=

HB

HM

，
∴HG•HM=CH•HB，
∴HE²=HG•HM．

点评：本题主要考查对相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出EH²=CH•BH和BH•CH=HG•HM是解此题的关键．