Question

【题目】如图，是正方形的边的中点，的垂直平分线分别交、于、，若，则的长为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接AG、EG，设CE=x，则AB=BC=2x，BG=2x-7，根据线段垂直平分线的性质得出AG=EG，根据勾股定理得出方程，解方程即可求出CE，从而得到AD，DE，BG，算出AG，再根据勾股定理可得GH.

解：连接AG、EG，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，
∵E是正方形ABCD的边CD的中点，
∴CE=CD，
设CE=x，则AB=BC=2x，BG=2x-7，
∵AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G，
∴AG=EG，
在Rt△AGH和Rt△EGH中，
根据勾股定理得：AG2=AB2+BG2，EG2=CE2+CG2，
∴（2x）2+（2x-7）2=x2+72，
解得：x=4，即CE=4=DE，

∴AB=8=AD，BG=1，

∴AE=，

∴AH=，

∵AG=，

∴GH=.

故答案为：.