题目内容

14、如果一个三角形的一个顶点是它的三条高的交点，那么这个三角形是（　　）
分析：根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
解答：解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；
B、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；
C、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；
D、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故错误．
故选B．
点评：主要考查学生对直角三角形的性质的理解及掌握．
练习册系列答案
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5、如果一个三角形的一个内角大于相邻的外角，这个三角形是（　　）
（2012•镇江二模）如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，请在边AB上作出C，D两点的所有勾股点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）如图2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4cm，DM=8cm，AN=5cm．动点P从D点出发沿着DC方向以1cm/s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动．设运动时间为t（s），点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上．
①当t=4、t=5时，直接写出点H的个数．
②探究满足条件的点H的个数（直接写出点H的个数及相应t的取值范围，不必证明）．
（2007•东城区一模）我们给出如下定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．
（1）若∠A=2∠B，且∠A=60°，求证：a2=b（b+c）．
（2）如果对于任意的倍角三角形ABC（如图），其中∠A=2∠B，关系式a2=b（b+c）是否仍然成立？请证明你的结论；
（3）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数．
实验与探究：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对应的边分别用a、b、c表示．

（1）如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°．易证：a2=b（b+c）
（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC，如图2，∠A=2∠B，关系式a2=b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论．
归纳与发现
由以上的证明，可以得到关于倍角三角形的一个结论：一个三角形中有一个角等于另一个角的两倍，2倍角所对边的平方等于一倍角所对边乘该边与第三边的和．
运用与推广
（3）（2009年全国初中数学联赛）在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8．则BC=
C
C

（A）7
2
   （B）10   （C）
105
    （D）7
3

（4）是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．
（2013•莆田质检）新知认识：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别用a，b，c表示，如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．
（1）特殊验证：如图1，在△ABC中，若a=
3
，b=1，c=2．求证：△ABC为倍角三角形﹔
（2）模型探究：如图2，对于任意的倍角三角形，若∠A=2∠B．求证：a2=b（b+c）﹔
（3）拓展应用：在△ABC中，若∠C=2∠A=4∠B．求证：
b
a
+
b
c
=1．

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