题目内容

如图，线段AB=8cm，点C是AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形（△AMC和△CNB），则当BC=________cm时，两个等腰直角三角形的面积和最小．

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分析：作MD⊥AC，NE⊥BC，设AC=xcm，则BC=（8-x）cm，将两三角形面积之和表示为S= $\text{[math]}$ •x• $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ •（8-x）• $\text{[math]}$ （8-x），转化为二次函数的最值问题解答．
解答：

解：作MD⊥AC，NE⊥BC，
∵△AMC和△CNB是等腰直角三角形，
∴DC=MD，EB=NE，
∴设AC=xcm，则BC=（8-x）cm，
∴两三角形面积之和为S= $\text{[math]}$ •x• $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ •（8-x）• $\text{[math]}$ （8-x）
= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ （64+x²-16x）
= $\text{[math]}$ x²+16+ $\text{[math]}$ x²-4x
= $\text{[math]}$ x²-4x+16
当AC=- $\text{[math]}$ =4，
即BC=8-4=4cm时，两个等腰三角形的面积最小．
点评：本题考查了等腰直角三角形和二次函数的最值，将三角形的面积问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键．