Question

【题目】如图，已知抛物线经过点A（，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于轴对称，点P是轴上的一个动点，设点P的坐标为（，0），过点P作轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得以B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）已知点F（0，），点P在轴上运动，试求当为何值时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在点Q，使得以B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似，点Q的坐标为（3，2）或（，0）；（3）当或或或时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】

（1）根据题意可设抛物线的解析式为，得出a的值，再代入解析式即可

（2）存在点Q，使得以B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似，则分为以下两种情况①当∠DOB=∠MBQ=90°时，可以得到△MBQ∽△BPQ即可解答，②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′即可解答

（3）根据题意可知点D坐标为（0，），得到直线BD解析式为，因为QM⊥轴，P（，0），则，因为F，、D（0，），，所以当QM=DF，即时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形，即可解答

解：（1）∵抛物线过点A（，0）、B（4，0），

∴可设抛物线的解析式为，

∵抛物线经过点C（0，2），

∴，

解得：，

∴抛物线解析式为；

（2）存在点Q，使得以B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似.

如图所示：

∵QM∥DC，

∴∠ODB=∠QMB，

分以下两种情况：

①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，

则，

∵∠MBQ=90°，

∴∠MBP+∠PBQ=90°，

∵∠MPB=∠BPQ=90°，

∴∠MBP+∠BMP=90°，

∴∠BMP=∠PBQ，

∴△MBQ∽△BPQ，

∴，

∵P（，0），B（4，0），

∴BP，，

∴，

解得：，

当时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，

∴，点Q的坐标为（3，2）； ,

②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，

此时m=-1，点Q的坐标为（，0）；

综上，点Q的坐标为（3，2）或（，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．

（3）∵点D与点C（0，2）关于轴对称，

∴点D坐标为（0，），

设直线BD解析式为，

则有：，解得：，

∴直线BD解析式为，

∵QM⊥轴，P（，0），

∴Q、M，

则，

∵F，、D（0，），

∴，

∵QM∥DF，

∴当QM=DF，即时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形，

解得：m=-1或m=3或或，

即m=-1或m=3或或时，以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．