Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，BD平分∠ADC，BD与OC相交于E．
（1）求证：BC²=BE•BD；
（2）若直径AC=6，BE：ED=3：1，求OE的值．

Answer 1

（1）证明：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∵∠ADB=∠ECB，
∴∠BDC=∠BCE，
∵∠DBC=∠CBE，
∴△CBE∽△DBC，
∴=，
∴BC²=BE•BD．

（2）解：∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠BAC，
∴AB=BC，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AC=6，由勾股定理得：BC=6
∵BC²=BE•BD，BE：ED=3：1，
∴设ED=x，则BE=3x，BD=4x，
∴36=12x²，
解得：x=，
设OE=y，则AE=3-y，CE=3-y
由相交弦定理：（3-y）（3-y）=3•，
解得：y=3，
即OE=3．
分析：（1）证△CBE∽△DBC，得出比例式，即可得出答案；
（2）求出△ACB是等腰直角三角形，求出BC，根据（1）和已知求出BE、DE，根据相交弦定理求出即可．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，相交弦定理，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．