Question

(2006，北京)如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

(1)如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

(2)如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

问题二．图略． (1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD． (2)(1)中的结论FE=FD仍然成立． 证法一：如图(1)，在AC上截取AG=AE，连结FG． ∵∠1=∠2，AF为公共边，可证△AEF≌△AGF， ∴∠AFE=∠AFG，FE=FG． 由∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，可得∠2＋∠3=60°， ∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°， ∴∠CFG=60°． 由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD， ∴FG=FD，∵FE=FD． 证法二：如图(2)． 过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H． ∵∠B=60°，且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴可得∠2＋∠3=60°，F是△ABC的内心， ∴∠CEF=60°＋∠1，FG=FH． 又∵∠HDF=∠B＋∠1，∴∠CEF=∠HDF． 因此可证△EGF≌△DHF，∴FE=DF．