Question

已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
（1）求证：BE=DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点G，使OG=OA，连接EG、FG．判断四边形AEGF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据正方形的性质得出∠D=∠B=90°，AB=AD，根据HL证出Rt△ABE≌Rt△ADF即可；
（2）根据Rt△ABE≌Rt△ADF，推出∠BAE=∠DAF，推出∠EAC=∠FAC，根据三线合一得出垂直平分EF，即可求出答案．
解答：证明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠D=∠B=90°，AB=AD=BC=CD，
在Rt△ABE与Rt△ADF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF．

（2）四边形AEGF是菱形．
证明：∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∴∠EAC=∠FAC，
又∵AE=AF，
∴AO垂直平分EF（三线合一定理），
∴OE=OF，
又∵OG=OA，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AE=AF，
∴平行四边形AEGF是菱形．
点评：本题主要考查对正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．