Question

14．如图．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=$\frac{1}{2}$x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象的一个交点为A（2，m）．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的表达式；
（2）如果点P在直线OA上，且满足PA=2OA，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点A在一次函数图象上，将点A的坐标代入一次函数解析式中即可求出点A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）由点P在直线OA上可设点P的坐标为（2n，n）．由两点间的距离公式求出OA、PA的长，再由PA=2OA可得出关于n的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵一次函数y=$\frac{1}{2}$x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象的一个交点为A（2，m），
∴点A（2，m）在一次函数y=$\frac{1}{2}$x的图象上，
∴m=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴点A的坐标为（2，1）．
∵点A（2，1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴1=$\frac{k}{2}$，解得：k=2．
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{2}{x}$．
（2）∵点P在直线OA上，
∴设点P的坐标为（2n，n）．
∴点A的坐标为（2，1），
∴OA=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，PA=$\sqrt{（2n-2）^{2}+（n-1）^{2}}$．
∵PA=2OA，即$\sqrt{（2n-2）^{2}+（n-1）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
解得：n₁=-1，n₂=3．
∴点P的坐标为（-2，-1）和（6，3）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、待定系数法求函数解析式以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）找出关于n的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．